簡単なようで難しい1+1=2の証明

この世で答えは最も簡単だが証明しろと言われると難しい問題

 

皆様は「1+1=」と言われたら、すぐに「2」と答えることができると思います。小学校1年生のときに算数の授業で習う足し算の問題です。昔から足し算というのはこういうものだから・・としてずーっと認識してきていると思います。ただ、優秀な小学生に「どうして1+12になるの?」と言われたらあなたはどう答えるでしょうか?きちんと答えることができるでしょうか?そのときに困らないように立派な大人として答えることができるように1+12となる証明方法を紹介していきたいと思います。

1+12を証明するための準備編

1 自然数を厳密に定義してあげよう。

1-1 自然数0が存在する

まずは、0という存在を認めるということと、自然数という集合体が存在していることを表します。

 

1-2 任意の自然数aにはその後者suc(a)が存在することを定義する

Successorという単語は英語で後継とか後者という意味を示します。その頭文字3つをとって自然数aの後者をsuc(a)があるということを定義します。これは何を言っているかというと、どんな自然数に対しても後者が存在しているということを言おうとしています。1の次は2、2の次は3・・・というように自然数には必ず次の数値が存在しているということを認めろ!ということです。

 

1-3 0という値はいかなる自然数の後者ではないことを定義する

0という数値の存在は自然数の中で最小値を示しているということを定義しています。つまり、自然数のスタート地点ですということです。

 

1-4 異なる自然数は異なる後者を持つことを定義する

異なる自然数abに対して以下の関係を持つこととします。

ab ならば suc(a)suc(b)

a=1, b=2としてときにsuc(1)=2suc(2)=3は別物ですよね。もしも同じモノだったら困るということです。1の次が32の次も3という数だったらこの証明は破綻しますよ~ということです。

 

1-5 0がある性質を満たし、aがある性質を満たし、aがある性質を満たせば、その後者suc(a)もその性質を満たすとき、全ての自然数はその性質を満たすということを定義する。

→簡単に言うと、数学的帰納法を満たしますよということを主張するものです。asuc(a)の関係を認めればbsuc(b)でもcsuc(c)の関係でもなんでも自然数という枠組みの中では関係性を保持することができるということです。(ここに関しては細かいことを考えなくても問題ありません。)

 

2 足し算とは何かを厳密に定義してあげよう。

2-1 すべての自然数aに対して以下が成り立つ。

a+0=a

 

2-2 すべての自然数a,bに対して以下が成り立つ。

a+suc(b)=suc(a+b)

これは例えを入れたほうがわかりやすいかもしれません。a=1, b=2を入れてみましょう。

1+suc(2)=suc(1+2)

これはつまり、

1+3=suc(3)=4

Suc(3)は3の次の数のことを指しますから4という数字になるということがわかると思います。

これを用いると簡単に1+12の証明を行うことができます!

 

最終章:1+12の証明

まずは1とか2という数字を定義します。

suc(0)=:10の次の数字を1であることを定義します。)

続いて、

suc(suc(0))=:2 (12が別物であることを確認します。1-4ですでに定義済みです。)

と定義します。

ここで、加法の定義より、

a=suc(0), b=0とします。

すると、

suc(0)+suc(0)=suc(suc(0)+0)

=suc(suc(0))

=2

QED

 

最後に・・

 

いかがでしたでしょうか。ちょっと文字だけで説明するのは非常に困難ですので、ちょっとわかりにくかったと思います。詳しく知りたいという方はコメントに書き込んで頂けるともっと簡略に説明を致します。もし1+12はどうして?という小学生が居ましたらこの証明方法を使って証明してあげれば、きっとその小学生は理解してくれると思います(笑)実際、小学生に本当に1+12はどうしてですか?と聞かれましたら、詳細については大学で勉強できるから今はこの関係だけを理解して、テストでいい点数を取り続けなさいというアドバイスを行うのもありかと思います。

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